Cómo se aplica la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

✅ La fórmula general se aplica sustituyendo los coeficientes (a), (b) y (c) en (-b pm sqrt{b^2 – 4ac}/2a) para encontrar las raíces.

La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es una herramienta fundamental en matemáticas, utilizada para encontrar las soluciones (o raíces) de ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a no puede ser cero. La fórmula es:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

Para aplicar esta fórmula, sigue estos pasos:

1. Identifica los coeficientes: Determina los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática dada.
2. Calcula el discriminante: Este es el término dentro de la raíz cuadrada, b² – 4ac. El valor del discriminante te indica la naturaleza de las raíces:
• Discriminante > 0: Hay dos soluciones reales y diferentes.
• Discriminante = 0: Hay una solución real (raíz doble).
• Discriminante < 0: No hay soluciones reales (las raíces son complejas).
3. Sustituye los valores: Introduce los valores de a, b y c en la fórmula general.
4. Resuelve para x: Calcula las soluciones al simplificar la expresión.

Por ejemplo, para la ecuación 2x² – 4x – 6 = 0, los coeficientes son a = 2, b = -4 y c = -6. Al calcular el discriminante:

b² – 4ac = (-4)² – 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64

Dado que el discriminante es mayor que cero, sabemos que hay dos soluciones reales. Sustituyendo en la fórmula:

x = (4 ± √64) / (4) = (4 ± 8) / 4

Esto nos da las soluciones x = 3 y x = -1.

En el siguiente apartado, exploraremos ejemplos adicionales y situaciones en las que se puede aplicar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, así como algunos consejos prácticos para facilitar el proceso.

Paso a paso para aplicar la fórmula cuadrática correctamente

La fórmula cuadrática es una herramienta fundamental en la resolución de ecuaciones de segundo grado, que tiene la forma general:

ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son coeficientes, y a no puede ser igual a cero. La fórmula para encontrar las raíces de la ecuación es:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

1. Identifica los coeficientes

El primer paso es identificar los valores de a, b y c. Por ejemplo, en la ecuación:

2x² – 4x + 1 = 0

• a = 2
• b = -4
• c = 1

2. Calcula el discriminante

El discriminante es la parte de la fórmula que se encuentra dentro de la raíz cuadrada, b² – 4ac. Esto determinará la naturaleza de las raíces:

• Si el discriminante es positivo, hay dos raíces reales y diferentes.
• Si el discriminante es cero, hay una raíz real doble.
• Si el discriminante es negativo, no hay raíces reales (las raíces son complejas).

Usando nuestro ejemplo, el discriminante sería:

D = (-4)² – 4(2)(1) = 16 – 8 = 8

3. Aplica la fórmula

Conociendo el discriminante, ahora podemos aplicar la fórmula para encontrar las raíces:

x = (-(-4) ± √8) / (2 * 2)

Calculando las raíces:

• x₁ = (4 + √8) / 4
• x₂ = (4 – √8) / 4

Ejemplo práctico

Consideremos la ecuación 2x² – 4x + 1 = 0 nuevamente:

Al resolver, obtendremos:

• x₁ = (4 + 2.83) / 4 ≈ 1.71
• x₂ = (4 – 2.83) / 4 ≈ 0.29

4. Verifica las soluciones

Por último, es importante verificar las soluciones sustituyendo las raíces encontradas de nuevo en la ecuación original:

2(1.71)² – 4(1.71) + 1 ≈ 0

2(0.29)² – 4(0.29) + 1 ≈ 0

Ambas sustituciones deben dar como resultado cero, confirmando que nuestras raíces son correctas.

Ejemplos prácticos de resolución de ecuaciones cuadráticas con la fórmula

La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es una herramienta fundamental en matemáticas. Esta fórmula se expresa como:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

A continuación, te mostramos algunos ejemplos prácticos que ilustran cómo aplicar esta fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1: Ecuación simple

Consideremos la ecuación cuadrática:

2x² + 4x – 6 = 0

En este caso, los valores son:

• a = 2
• b = 4
• c = -6

Primero, calculamos el discriminante:

b² – 4ac = 4² – 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64

Ahora, aplicamos la fórmula:

x = (-4 ± √64) / (2 * 2)

Esto nos da dos soluciones:

x₁ = (-4 + 8) / 4 = 1

x₂ = (-4 – 8) / 4 = -3

Por lo tanto, las soluciones son x = 1 y x = -3.

Ejemplo 2: Ecuación con decimales

Ahora, consideremos la ecuación:

0.5x² – 3x + 2 = 0

Los valores son:

• a = 0.5
• b = -3
• c = 2

Calculamos el discriminante:

b² – 4ac = (-3)² – 4(0.5)(2) = 9 – 4 = 5

Aplicamos la fórmula:

x = (3 ± √5) / (2 * 0.5)

Esto nos da las soluciones:

x₁ = (3 + √5) / 1

x₂ = (3 – √5) / 1

Por lo tanto, las soluciones son aproximadamente x ≈ 5.24 y x ≈ 0.76.

Ejemplo 3: Ecuación con coeficientes negativos

Consideremos la ecuación:

-x² + 6x – 8 = 0

Los valores son:

• a = -1
• b = 6
• c = -8

Calculamos el discriminante:

b² – 4ac = 6² – 4(-1)(-8) = 36 – 32 = 4

Aplicamos la fórmula:

x = (-6 ± √4) / (2 * -1)

Esto nos da las soluciones:

x₁ = (-6 + 2) / -2 = 2

x₂ = (-6 – 2) / -2 = 4

Por lo tanto, las soluciones son x = 2 y x = 4.

Tabla de resumen de soluciones

Estos ejemplos prácticos demuestran cómo utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de diferentes formas. Practicar con distintos tipos de ecuaciones te ayudará a dominar esta técnica tan útil en el campo de las matemáticas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

¿Cómo se identifica a, b y c en la fórmula?

En la ecuación ax² + bx + c = 0, ‘a’ es el coeficiente de x², ‘b’ el coeficiente de x, y ‘c’ la constante.

¿Cuál es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?

La fórmula es x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a).

¿Qué significa el discriminante?

El discriminante (b² – 4ac) determina la naturaleza de las raíces: si es positivo, hay dos raíces reales; si es cero, una raíz; si es negativo, dos raíces complejas.

¿Cómo se aplica la fórmula en un ejemplo práctico?

Para resolver 2x² + 4x – 6 = 0, identificas a = 2, b = 4 y c = -6, y aplicas la fórmula general.

Puntos clave sobre la fórmula general

• Forma estándar: ax² + bx + c = 0
• Coeficientes: a, b, c son constantes reales
• Fórmula general: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)
• Discriminante: b² – 4ac
• Raíces reales: Discriminante > 0
• Raíz única: Discriminante = 0
• Raíces complejas: Discriminante < 0
• Aplicación práctica: Sustituir valores en la fórmula

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