Cómo calcular el término enésimo de una sucesión: guía paso a paso

Si te has encontrado con una sucesión numérica en tus estudios de matemáticas, es probable que te hayas preguntado cómo puedes calcular el término enésimo de esa sucesión. Afortunadamente, existen métodos y fórmulas que te permiten realizar este cálculo de manera sencilla y precisa. En este artículo, te guiaremos paso a paso a través de los diferentes métodos para calcular el término enésimo de una sucesión.

Antes de adentrarnos en los métodos específicos, es importante comprender qué es una sucesión. En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de números, donde cada número se llama término de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión 2, 4, 6, 8, 10 es una sucesión aritmética donde cada término se obtiene sumando 2 al término anterior.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una serie de números que se siguen en un orden específico. Los números de la sucesión se denominan términos y pueden seguir un patrón aritmético, geométrico o incluso no tener un patrón definido. Las sucesiones son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones.

Métodos para calcular el término enésimo de una sucesión

Existen varios métodos y fórmulas para calcular el término enésimo de una sucesión, dependiendo del tipo de sucesión que estemos trabajando. A continuación, describiremos los métodos más comunes para calcular el término enésimo de una sucesión:

• Método de la fórmula general de la sucesión aritmética
• Método de la fórmula general de la sucesión geométrica
• Método de la fórmula recursiva

Método de la fórmula general de la sucesión aritmética

Una sucesión aritmética es aquella en la que cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia (d) al término anterior. La fórmula general para calcular el término enésimo de una sucesión aritmética es:

a_n = a₁ + (n – 1) * d

Donde a_n es el término enésimo, a₁ es el primer término y d es la diferencia común entre los términos.

Por ejemplo, si tenemos la sucesión aritmética 2, 5, 8, 11, 14 y queremos calcular el término enésimo, podemos utilizar la fórmula general:

a_n = 2 + (n – 1) * 3

Si queremos calcular el quinto término (a₅), sustituimos n por 5:

a₅ = 2 + (5 – 1) * 3 = 2 + 4 * 3 = 2 + 12 = 14

Por lo tanto, el quinto término de la sucesión es 14.

Método de la fórmula general de la sucesión geométrica

Una sucesión geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando una constante llamada razón (r) al término anterior. La fórmula general para calcular el término enésimo de una sucesión geométrica es:

a_n = a₁ * r^{(n – 1)}

Donde a_n es el término enésimo, a₁ es el primer término y r es la razón común entre los términos.

Por ejemplo, si tenemos la sucesión geométrica 3, 6, 12, 24, 48 y queremos calcular el término enésimo, podemos utilizar la fórmula general:

a_n = 3 * 2^{(n – 1)}

Si queremos calcular el sexto término (a₆), sustituimos n por 6:

a₆ = 3 * 2^{(6 – 1)} = 3 * 2⁵ = 3 * 32 = 96

Por lo tanto, el sexto término de la sucesión es 96.

Método de la fórmula recursiva

En algunos casos, una sucesión puede tener una fórmula recursiva que relaciona cada término con uno o más términos anteriores. Para calcular el término enésimo de una sucesión con una fórmula recursiva, debemos conocer los términos anteriores hasta llegar al término inicial.

Por ejemplo, si tenemos la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, … donde cada término se obtiene sumando los dos términos anteriores (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, etc.), podemos calcular el término enésimo utilizando la fórmula recursiva:

a_n = a_n-1 + a_n-2

Para calcular el sexto término (a₆), necesitaremos conocer los términos anteriores:

a₆ = a₅ + a₄ = 8 + 5 = 13

Por lo tanto, el sexto término de la sucesión es 13.

Ejemplos de cálculo del término enésimo

Ahora que conoces los métodos para calcular el término enésimo de una sucesión, veamos algunos ejemplos concretos para ilustrar su aplicación:

Ejemplo 1: Sucesión aritmética

Dada la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, 19, calcula el décimo término.

Utilizando la fórmula general de la sucesión aritmética:

a_n = a₁ + (n – 1) * d

Donde a_n es el término enésimo, a₁ es el primer término y d es la diferencia común entre los términos.

En este caso, a₁ = 3 y d = 4 (la diferencia entre cada término).

Para calcular el décimo término (a₁₀), sustituimos n por 10:

a₁₀ = 3 + (10 – 1) * 4 = 3 + 9 * 4 = 3 + 36 = 39

Por lo tanto, el décimo término de la sucesión aritmética es 39.

Ejemplo 2: Sucesión geométrica

Dada la sucesión geométrica 2, 6, 18, 54, 162, calcula el sexto término.

Utilizando la fórmula general de la sucesión geométrica:

a_n = a₁ * r^{(n – 1)}

Donde a_n es el término enésimo, a₁ es el primer término y r es la razón común entre los términos.

En este caso, a₁ = 2 y r = 3 (la razón entre cada término).

Para calcular el sexto término (a₆), sustituimos n por 6:

a₆ = 2 * 3^{(6 – 1)} = 2 * 3⁵ = 2 * 243 = 486

Por lo tanto, el sexto término de la sucesión geométrica es 486.

Conclusión

Calcular el término enésimo de una sucesión puede parecer complicado al principio, pero con los métodos y fórmulas adecuadas, se vuelve mucho más sencillo. En este artículo, hemos explorado los métodos para calcular el término enésimo de una sucesión aritmética, geométrica y recursiva. Recuerda practicar y familiarizarte con estas fórmulas para poder aplicarlas con confianza en tus estudios y problemas matemáticos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Cuál es la fórmula general para calcular el término enésimo de una sucesión aritmética?

La fórmula general para calcular el término enésimo de una sucesión aritmética es a_n = a₁ + (n – 1) * d, donde a_n es el término enésimo, a₁ es el primer término y d es la diferencia común entre los términos.

2. ¿Cómo puedo determinar si una sucesión es geométrica?

Para determinar si una sucesión es geométrica, debes verificar si cada término se obtiene multiplicando una constante llamada razón (r) al término anterior. Si todos los términos cumplen esta condición, entonces la sucesión es geométrica.

3. ¿Cuál es la fórmula para calcular el término enésimo de una sucesión geométrica?

La fórmula general para calcular el término enésimo de una sucesión geométrica es a_n = a₁ * r^{(n – 1)}, donde a_n es el término enésimo, a₁ es el primer término y r es la razón común entre los términos.

4. ¿Qué debo hacer si la sucesión no sigue un patrón aritmético ni geométrico?

Si la sucesión no sigue un patrón aritmético ni geométrico, puede ser más difícil calcular el término enésimo. En estos casos, es posible que necesites utilizar otros métodos, como la interpolación o realizar análisis más avanzados para determinar una posible fórmula o patrón en la sucesión.